Limit Fungsi Aljabar

Limit fungsi adalah suatu nilai pendekatan disekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut. Secara umum didefinisikan sebagai berikut:

lim x mendekati n f(x) = A, jika dan hanya jika x mendekati n , x ≠ n maka maka f(x) mendekati nilai A.

Bentuk-Bentuk Limit Funsi Aljabar

1.  Limit Fungsi f(x) untuk x  a

Cara menghitungnya:

a.    Dengan Subtitusi Langsung

Menghitung nilai limit fungsi dengan subtitusi langsung dapat dilakukan dengan syarat pada perhitungan dengan subtitusi langsung tidak diperoleh bentuk tak tentu seperti 0/0, ∞ /∞ , ∞ -∞ bentuk-bentuk seperti ini disebut bentuk tak tentu. Jika dengan subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka penghitungan nilai limit fungsi aljabar menggunakan cara lain.

Contoh:

a.        Dengan Pemfaktoran

Jika dengan cara subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu 0/0 atau

 

maka perhitungan nilai limit dilakukan dengan cara memfaktorkan

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini:

Jawab: 

Dengan subtitusi langsung akan diperoleh,

 

Setelah diperoleh bentuk tak tentu maka dilakukan dengan cara memfaktorkan,

 

2.      Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu untuk  x ∞

Dalam bahasa matematika untuk menyatakan suatu keadaan atau kondisi yang nilai dan besarnya tidak dapat ditentukan digunakan lambang  ∞  (dibacanya tak berhingga). Soal-soal limit fungsi aljabar dengan variabel atau peubah x mendekati tak berhingga, biasanya sering dijumpai dalam bentuk umum seperti dibawah ini:

Bentuk umum limit fungsi aljabar x mendekati tak berhingga adalah,

Jika menggunakan metode subtitusi langsung akan diperoleh bentuk tak tentu              atau ∞ - ∞. Maka cara menghitung nilai limit fungsi aljabar untuk x mendekati tak berhingga menggunakan cara-cara sebagai berikut:

a.      Limit Fungsi Aljabar - Membagi dengan Pangkat Tertinggi dari Penyebut

Menghitung nilai  lim x → ∞ f(x)/g(x) dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut g(x) dengan x^n, dengan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) ataupun g(x). Tapi sebelumnya catat terlebih dahulu rumus dibawah ini :           

 



 








Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini! 

 
 
 

Jawab:

1.     1. Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 1, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi x, maka

 

1.      2. Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 3, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi , maka:

 

1.       

Pe     Perhatikan kembali contoh No 3 dibawah ini:

Perhatikan f(x) dan g(x) mempunyai pangkat tertinggi yaitu 4, maka pembilang dan penyebut masing-masing dibagi , maka
 

Dari contoh diatas ada rumus cepat menghitung nilai limit fungsi aljabar bentuk: 

 

 1.Jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x) 

 

2. Jika pangkat tertinggi f(x) >  pangkat tertinggi g(x)

 

3. Jika pangkat tertinggi f(x) <  pangkat tertinggi g(x)

 

Contoh Soal:

Hitunglah nilai setiap limit fungsi dibawah ini!

 

 

Jawab:

1.    Pangkat tertinggi f(x) =   pangkat tertinggi g(x) yaitu pangkat 3 maka memenuhi (1) jadi:

 

2.   Ini jika pangkat tertinggi f(x) >   pangkat tertinggi g(x):

 

b.      Mengalikan dengan Akar Sekawan

Cara menghitungnya:

Dalam menghitung nilai limit fungsi aljabar terkadang kita jumpai bentuk akar, maka cara menyelesaikannya adalah dengan mengalikan akar sekawan.

 Perhatikan contoh-contoh soal berikut ini.                                                                  

Hitunglah nilai limit fungsi dibawah ini:

 

Jawab:

Dengan subtitusi langsung ,

diperoleh bentuk tak tentu, maka harus menggunakan cara lain yaitu mengalikan dengan akar sekawan.

 

Cara mengalikan dengan faktor lawan biasanya limit fungsi aljabar nya berbentuk  

Agar lebih jelas perhatikan contoh soal dibawah ini!

Hitunglah nilai limit  fungsi berikut:

 

Selain cara menggunakan cara mengalikan dengan faktor lawan atau kalikan sekawan ada atau cara lain menghitung nilai limit fungsi aljabar bentuk lim x → ∞ √ f(x)- √ g(x)} yaitu dengan syarat f(x) dan g(x) merupakan fungsi kuadrat , rumusnya adalah :

Rumus cepat :

Perhatikan contoh dibawah ini !

 

b = -2 ; d = 3 dan a = 4 , Gunakan rumus cepat diatas!